非交换 Korteweg--de Vries 层级与组合 Poppe 代数

我们在所有阶上给出了构造性证明，证明非交换势 Korteweg-de Vries 层级中的每个成员都是 Fredholm Grassmannian 流，因此是可线性化的。事实上，我们对该层级中场的任意线性组合证明了这一点。层级中每个成员都是可线性化的（并且在这个意义上是可积的），这意味着时间演化解可以由该层级中相应线性色散方程的解生成，并结合求解表示 Marchenko 方程的相关线性 Fredholm 方程。此外，我们表明，在多项式偏微分场类中，在每一阶上，非交换势 Korteweg--de Vries 层级的每个成员都是唯一的。实际上，我们在所有阶上证明了每个这样的成员都匹配非交换 Lax 层级场，因此它是一个多项式偏微分场。我们通过构造作为非交换势 Korteweg--de Vries 层级基础的抽象组合代数来实现这一点。该代数是由赋予 Poppe 乘积的所有复合集合在实数域上生成的非交换多项式代数。该乘积是 Ch. Poppe 为诸如 Sine-Gordon 和 Korteweg-de Vries 方程等可积方程开创的 Hankel 算子乘积法则的抽象表示。在组合代数中，层级成员的可积性转化为证明基本复合物可以用“线性特征展开”表示的“Poppe 多项式”展开的存在性。证明此类 Poppe 多项式展开的存在性归结为求解展开系数的线性代数问题，我们在所有阶上构造性地解决了该问题。