非交换非线性薛定谔与修正 Korteweg-de Vries 族代数结构

我们证明非交换非线性薛定谔与修正 Korteweg–de Vries 族中的每个成员都是 Fredholm Grassmannian 流，并且在给定线性色散关系及相应的 Fredholm 变换等价群下，在奇多项式偏微分场类中是唯一的。因此每个成员都是可线性化且可积的，即时间演化解可通过求解线性 Fredholm Marchenko 方程生成，其散射数据满足相应线性色散方程。在每一阶上，每个成员与对应的非交换 Lax 族场相匹配，从而表示奇多项式偏微分场。我们还表明非交换 sine–Gordon 方程的三次形式对应于该族中第一负阶情形，并建立了其余的负阶非交换族。为此，我们构造了一个支撑该族的抽象组合代数——Poppe 斜代数。该代数是实线上由复合生成的自由非交换多项式代数，赋予 Poppe 积——由 Ch. Poppe 为经典可积系统开创的 Hankel 算子乘积法则。建立非负阶族成员涉及证明基本复合关于表示底层非交换场导数的“线性签名展开”存在“Poppe 多项式”展开。问题归结为在每一阶求解关于多项式展开系数的线性代数方程。