孤立波前与孤子的 Koopman 分析

复杂系统的 Koopman 分解会得到一种表示，其中非线性动力学表现为线性。存在一种用于分析非线性动力系统的线性框架，这带来了预测与控制的新策略，同时由于与动态模态分解（dynamic mode decomposition，DMD）的联系，该方法可直接应用于大型数据集。然而，将 DMD 的输出与 Koopman 分析联系起来可能具有挑战性，因为可用的解析结果相对较少，而且已知 DMD 算法在涉及局域结构穿过域传播的情景下表现不佳。受这些问题启发，我们推导了经典非线性偏微分方程局域有限振幅解的一系列 Koopman 分解。我们首先证明 Burgers 方程和 KdV 方程的非线性行波解都有两种 Koopman 分解：一种在上游收敛，另一种在孤子或波前的下游收敛。然后我们利用逆散射变换推导 KdV 方程（纯孤子）解的完整 Koopman 分解，识别出 Koopman 特征值、特征函数与模态。我们的分析表明，当解涉及多个孤子相互作用时，存在许多可能的 Koopman 分解。空间与时间上多重展开的存在对 DMD 提取 Koopman 特征值与模态的能力有关键影响——必须在时空局域窗口内执行才能正确识别各独立展开。此外，我们将 DMD 应用于 sine-Gordon 方程的移动呼吸子解，提供了这些特征可能对孤立非线性结构具有普适性的证据。