Burgers方程的Koopman分析
流体动力学
2018-08-01 v2
摘要
动态模态分解(DMD)作为一种尝试对非线性偏微分方程进行Koopman模态分解的实用方法出现，为识别隐藏在偏微分方程动力学中的不变集和缓慢衰减的瞬态结构带来了令人振奋的前景。然而，将DMD与Koopman分析联系起来存在许多微妙之处，并且对于诸如Navier-Stokes方程这样的复杂系统，Koopman分析的实用性仍不清楚。受此激励，我们在此通过对Burgers方程的速度场推导Koopman模态和特征函数的显式表达式，给出其完整的Koopman分解——这是首次对非线性偏微分方程完成此类分解。该分解凸显了以下事实：不同的可观测量可能需要不同的Koopman特征函数子集来表达，并提供了一个很好的例子，其中：(i) Koopman模态线性相关，因此在不知晓Koopman特征函数的情况下无法事后将其拟合到流的快照上；(ii) Koopman特征值高度退化，这意味着计算得到的Koopman模态变得依赖于初始条件。作为说明，我们讨论了不同初始条件下Koopman展开的形式，并评估了DMD在衰减模拟中提取衰减非线性相干结构的能力。
引用
@article{arxiv.1712.06369,
title = {Koopman analysis of Burgers equation},
author = {Jacob Page and Rich R. Kerswell},
journal= {arXiv preprint arXiv:1712.06369},
year = {2018}
}