非线性流的潜在模态——一种 Koopman 理论分析

提取复杂非线性局部与非局部流的潜在底层结构对于其分析与建模至关重要。在本工作中，我们尝试通过 Koopman 理论及其相关的流行离散近似——动态模态分解（DMD）来提供一个一致的框架。我们研究了在高度一般的设定下执行适当的线性化、降维与流表示的条件。该框架的基本要素是 Koopman 特征函数（KEF），我们给出了其存在条件。这是通过将动态视为状态空间中的一条曲线来实现的。这些条件为非线性动力系统的系统重构、全局能控性与能观性奠定了基础。我们通过 Koopman 理论的分析考察了 DMD 的局限性，并提出了一种基于动态典型时间剖面的新模态分解技术。使用过完备的衰减剖面字典来稀疏逼近流。该分析在基于变分微积分的 Koopman 理论完整连续设定中同样成立。我们展示了该分析的应用，例如寻找 KEF 及其重数、动态重构与全局线性化。