分段线性映射锁定区域的香肠串结构的必要性

分段光滑映射被用作动力系统的离散时间模型，其演化在不同条件下由不同方程控制（例如切换控制系统）。通过为相空间中映射光滑的每个区域分配一个符号，映射的任何周期 $p$ 解都可以与包含 $p$ 个符号的路径相关联。随着映射参数的变化，路径的变化发生在边界碰撞分岔（BCB）处，此时周期解的一个点与区域边界发生碰撞。众所周知，BCB 大致分为两种情况：{\em 持续型}，即周期解的符号路径改变一个符号；以及{\em 非光滑折叠型}，即相差一个符号的两个解发生碰撞并湮灭。本文推导了 $\mathbb{R}^n$ 上分段线性连续映射周期解的新性质，证明了在温和条件下，不变圆上锁定解的 BCB 必须是非光滑折叠型。这解释了为什么分段线性映射的 Arnold 舌呈现出香肠串结构，即符号路径的改变发生在余维二的捏挤点处，而不是余维一的持续型 BCB 处。但由于主要结果基于路径的组合性质，因此持续型 BCB 的不可能性在周期解不稳定或不存在不变圆时同样成立。