多线性分数稀疏算子理论I：逐点控制和加权估计

本文关注如何建立多线性分数奇异积分算子$\mathcal{T}_{\eta}^{\mathbf{b}}$的广义交换子的某些定量加权估计，该算子定义为$$\mathcal{T}_{\eta}^{\mathbf{b}}(\vec{f})(x):= \mathcal{T}_{\eta}\left((b_1(x) - b_1)^{\beta_1}f_1,\ldots,(b_m(x) - b_m)^{\beta_m}f_m\right)(x),$$其中$\mathcal{T}_{\eta}$是多线性分数奇异积分算子，$\mathbf{b}:=(b_1,\ldots,b_m)$是一组符号函数，$(\beta_1,\ldots,\beta_m)\in\mathbb{N}_0^m$。对上述交换子进行逐点控制，促使我们考虑一类高阶多符号多线性分数稀疏算子$\mathcal{A}_{\eta,\mathcal{S},\tau}^{\mathbf{b},k,t}$，以实现这一长期愿望。因此，只需建立其定量加权估计，这首先包括刻画几种多线性加权条件$A_{\vec{p},q}^*$、$W_{\vec{p},q}^\infty$和$H_{\vec{p},q}^\infty$。在本工作范围内，建立了一阶多符号多线性分数稀疏算子的Bloom型估计。此外，我们分别使用“极大权方法”和“迭代权方法”推导了高阶多符号多线性分数稀疏算子的两种不同的Bloom型估计，这不仅改进了Lerner的一些方法，而且大大增强了我们结论的普适性。作为最后一个主要结果，我们还获得了多线性分数奇异积分算子及其一阶交换子的端点定量估计。值得强调的是，一些重要的多线性分数算子可作为应用适用于我们的结果。