分数高斯噪声下的记忆依赖 Fokker-Planck 方程

本文旨在探讨受分数高斯噪声（FGN）和高斯白噪声（GWN）驱动的非线性动力学系统的非马尔可夫性动力学。发展一种新型记忆依赖 Fokker-Planck-Kolmogorov 方程（memFPK）来刻画此类非马尔可夫系统的概率结构。本研究的主要挑战来自 FGN 的长程记忆特性。这些特征使得无法将 FGN 激发的非线性动力学系统建模为有限维的 GWN 驱动的马尔可夫增益滤波系统，因此经典 Fokker-Planck 方程不再适用。为解决此问题，本文基于分数 Wick-Itô-Skorohod 积分理论，首先推导了分数 Itô 公式。随后构建了反映 FGN 长程记忆特性的记忆核函数。通过运用分数 Itô 公式和分部积分，建立了 memFPK 方程。{重要的是，提出的 memFPK 方程不局限于特定的漂移项和扩散项形式，适用于广泛的受 FGN 和 GWN 激发的非线性动力学系统。}由于记忆核函数的历史依赖性，采用 Volterra 可调分离逼近方法来重构记忆核依赖项。该逼近方法能够有效求解 memFPK 方程，从而获得受 FGN 和 GWN 激发的非线性动力学系统的概率响应。最后，通过一些数值实例验证了所提方法的准确性和有效性。