分数阶 Fokker-Planck 方程的自适应深度密度近似
机器学习
2022-10-27 v1 数值分析
数值分析
摘要
在本工作中，我们提出了基于归一化流的自适应深度学习方法，用于求解分数阶 Fokker-Planck 方程(FPEs)。FPE 的解是一个概率密度函数(PDF)。由于无界计算域、大量维度和非局部分数阶算子，传统的基于网格的方法效果不佳。为此，我们使用由基于流的深度生成模型（简化的 KRnet）导出的显式 PDF 模型来表示解，该模型构建了从简单分布到目标分布的传输映射。我们考虑两种方法来近似分数阶拉普拉斯算子。一种方法是蒙特卡罗近似。另一种方法是利用高斯径向基函数(GRBFs)构建辅助模型来近似解，从而利用高斯的分数阶拉普拉斯算子具有解析形式这一事实。基于这两种不同的分数阶拉普拉斯算子近似方法，我们提出了 MCNF 和 GRBFNF 两个模型来近似稳态 FPEs，并提出了 MCTNF 来近似时间依赖的 FPEs。为了进一步提高精度，我们交替地细化训练集和近似解。我们给出了多种数值算例来证明我们提出的自适应深度密度方法的有效性。
引用
@article{arxiv.2210.14402,
title = {Adaptive deep density approximation for fractional Fokker-Planck equations},
author = {Li Zeng and Xiaoliang Wan and Tao Zhou},
journal= {arXiv preprint arXiv:2210.14402},
year = {2022}
}
备注
25 pages, 22 figures