用于求解高维 Fokker-Planck 方程的 Fisher 信息与形变态模式
动力系统
2023-06-07 v1 数值分析
数值分析
计算物理
摘要
Fokker-Planck 方程描述了与随机微分方程相关联的概率密度的演化。随着系统维数增长，使用常规数值方法求解该偏微分方程（PDE）在计算上变得不可行。在此我们引入一种快速、可扩展且可解释的高维 Fokker-Planck 方程求解方法。该方法将解近似为具有时变均值与协方差的形变态高斯函数的线性组合。这些参数依据降阶非线性解方法（RONS）演化，确保近似解在所有时刻接近 PDE 真解。因此，所提方法近似瞬态动力学以及（当存在时）平衡密度。我们的近似解可视为嵌入概率密度空间中的有限维统计流形上的演化。我们证明 RONS 中的度量张量与该流形上的 Fisher 信息矩阵一致。我们还讨论了将我们的方法解释为具有高斯激活函数与时变参数的浅层神经网络。与现有深度学习方法相反，我们的方法可解释、无需训练，并自动确保近似解满足概率密度的所有性质。
引用
@article{arxiv.2306.03749,
title = {Fisher information and shape-morphing modes for solving the Fokker-Planck equation in higher dimensions},
author = {William Anderson and Mohammad Farazmand},
journal= {arXiv preprint arXiv:2306.03749},
year = {2023}
}