形状变形非线性解的快速度量计算及其在演化神经网络中的应用

我们开发了用于计算降阶非线性解（RONS）的快速且可扩展的方法。RONS 近来被提出作为含时偏微分方程（PDE）降阶建模的框架，其中模态非线性依赖于一组时变参数。RONS 利用一组关于参数的常微分方程（ODE）来最优地演化模态形状，以适应 PDE 的解。该方法已在处理平流主导流和高维 PDE 等难题中证明极为有效。然而，随着参数数量增长，积分 RONS 方程乃至其构造都变得计算上难以承受。在此，我们开发三种独立方法以攻克这些计算瓶颈：符号 RONS、配置 RONS 与正则化 RONS。我们在两个例子上展示了这些方法的有效性：高维 Fokker-Planck 方程与 Kuramoto-Sivashinsky 方程。两种情形下，我们均观察到所提方法带来数个数量级的速度提升与精度改善。我们提出的方法通过将 RONS 用于线性和非线性 PDE 的精确数值求解，扩展了 RONS 超越降阶建模的适用性。最后，作为 RONS 的特例，我们讨论其应用于以神经网络逼近 PDE 解的问题，其中时变参数为网络的权重与偏置。RONS 方程支配网络参数的最优演化，无需任何训练。