模叠中平面曲线的轨迹

设 $d \geq 4$，令 $U_d$ 表示希尔伯特概形中次数为 $d$ 的平面曲线的光滑曲线轨迹。若 $U_d$ 的成员亏格为 $g$，令 $\mathscr{M}_g$ 表示亏格 $g$ 曲线的模叠。我们证明自然映射 $[U_d/\operatorname{PGL}_3] \to \mathscr{M}_g$ 是一个局部闭嵌入。