平面射影曲线的局部Bourbaki次数

平面射影曲线$F$的Bourbaki次数，记为$\mathrm{Bour}(F)$，由Jardim、Nejad和Simis在\cite{Marcos}中引入。其定义为$R/I_\epsilon$的次数，其中$R = k[x,y,z]$是分次多项式环（$k$为代数闭域），而$I_\epsilon \subseteq R$是与雅可比理想$J_F$的一阶合取模的极小生成元$\epsilon$相关联的Bourbaki理想。在本工作中，我们提出了在点$P \in \mathbb{P}^2$处的局部Bourbaki次数的定义，记为$\mathrm{Bour}_P(F)$，并证明了$\mathrm{Bour}(F) = \sum_{P \in \mathbb{P}^2}\mathrm{Bour}_P(F)$。此外，我们给出了由该局部定义推导出的结果，这些结果有助于确定Bourbaki次数以及判断曲线是否为（近）自由曲线。另外，我们提供了通过局部公式计算Bourbaki次数的示例——这种方法在计算上具有优势，因为通常它需要的计算量更少。