庞塞莱曲线簇的度数

我们计算了 $n$ 次庞塞莱曲线射影簇的度数。该簇是不可约的，维度为 $2 n + 5$，位于 $n$ 次平面曲线的射影空间内。它在经典上被定义为该射影空间中通过某个内接于光滑圆锥曲线的非退化 $n$ 边形顶点的局部闭子集的闭包（多边形和圆锥曲线均为变量）。它与射影（对偶）平面上的一类特定半稳定层相关，称为庞塞莱层。利用与庞塞莱曲线簇双有理的模空间，我们计算了所需的度数。这涉及相当繁琐的计算，我们得到了 $n \geq 4$ 时的通用公式。我们对 $n \leq 6$ 进行了数值应用。对于 $n=4$，我们重新发现了射影平面上著名的 Donaldson 数 54，即 Luroth 四次曲线超曲面的度数。