等和次幂和的线性切片方法：模算术与几何约束

我们研究了以整数变量和指数 $k>1$ 为条件的二次方程 $a^k + b^k = c^k + d^k$，并施加线性约束 $(c+d) - (a+b) = h$。我们分析了这些线性切片的几何与算术结构。在中心切片 $h=0$ 上，我们证明了严格的凸性唯一性：具有相同和的不同无序数对产生不同的幂和。在偏移切片 $h\neq 0$ 中，我们建立了模数可除性障碍（MDO）：任何解都要求 $h$ 被特定的无平方因子模数 $M_k = \prod_{p-1 \mid k-1} p$ 整除。该条件创建了强大的可除性滤波器；例如，当 $k=13$ 时，此障碍消除 99.96% 的所有可能偏移量。我们将这一算术约束与几何排除区域原则和全局重叠界限相结合，表明切片大小必须满足 $\min\{S, S+h\} \gg |h|$。最后，我们证明了渐近支配界限 $k \le \max\{S, S+h\} \log 2$，这表明对于任意固定切片，解在足够大的 $k$ 时不存在。