Krein-von Neumann扩张及其与抽象屈曲问题的联系

我们证明了在Hilbert空间$\mathcal{H}$中，一个稠定、闭、严格正算子$S\geq \epsilon I_{\mathcal{H}}$（其中$\epsilon >0$）的Krein–von Neumann扩张（在其核的正交补上）的逆与一个抽象屈曲问题算子的酉等价性。在具体情形中，对于$\Omega\subset\mathbb{R}^n$为有界（且足够正则）的开区域，取$S=\bar{-\Delta|_{C_0^\infty(\Omega)}}$作用于$L^2(\Omega; d^n x)$，这作为G. Grubb一般结果的一个特例，恢复了Krein拉普拉斯算子$S_K$（即$S$的Krein–von Neumann扩张）的特征值问题，$$S_K v = \lambda v, \quad \lambda \neq 0,$$ 与{\em 夹紧板屈曲}问题的一一对应关系，$$(-\Delta)^2u=\lambda (-\Delta) u \text{在} \Omega \text{中}, \quad \lambda \neq 0, \quad u\in H_0^2(\Omega),$$ 其中$u$和$v$通过以下公式对相关联：$$u = S_F^{-1} (-\Delta) v, \quad v = \lambda^{-1}(-\Delta) u,$$ 这里$S_F$是$S$的Friedrichs扩张。这确立了Krein扩张作为弹性理论中的一个自然对象（类似于Friedrichs扩张，后者在量子力学、弹性学等领域中找到了自然应用）。