二维圈模型的Jordan结构

我们展示了如何利用格点上圈模型的转移矩阵$D_N$的链环表示，来计算临界条件下具有各种边界条件和参数$\beta = 2 \cos(\pi(1-a/b)), a,b\in \mathbb N$的Fortuin-Kasteleyn模型的配分函数，更具体地说，是计算相应的$Q$-Potts自旋模型（其中$Q=\beta^2$）的配分函数。$D_N$的辫极限被证明是Temperley-Lieb代数$TL_N(\beta)$的中心元素$F_N(\beta)$，其本征值被确定，并且对于一般的$\beta$，利用Wenzl-Jones投影子构造了其本征向量的一组基。该基的每个元素都关联一个缺陷数$d$，$0\le d\le N$，具有相同$d$的基向量张成一个扇区。由于这些本征向量的分量在$b \in \mathbb{Z}^*$且$a \in 2 \mathbb{Z} + 1$时是奇异的，因此$F_N$和$D_N$的链环表示在扇区$d$和$d'$之间（当$d-d' < 2b$且$(d+d')/2 \equiv b-1 \ \textrm{mod} \ 2b$（$d>d'$）时）具有Jordan块。当$a$和$b$不满足上述约束时，$D_N$是可对角化的。