二维 Potts 模型中自旋与 Fortuin-Kasteleyn 联合可观测量的临界性质

二维 Potts 模型既可以用原始的 Q 分量自旋来研究，也可以通过 Fortuin-Kasteleyn (FK) 簇进行几何重构来研究。虽然 FK 表示在构造上对任意实数 Q 均有意义，但直到最近才证明自旋表示可以推广到同样的普适程度。在本文中，我们展示了如何用同时跟踪自旋与 FK 自由度的可观测量来定义 Potts 模型。这首先在代数上通过一个耦合了划分代数三种不同表示的转移矩阵来实现。利用这一点，可以研究包含任意给定数量具有指定颜色的传播自旋簇的相关函数，其中每个自旋簇又包含任意给定数量的不同 FK 簇。对于 0 <= Q <= 4，相应的临界指数均具有 Kac 形式 h_{r,s}，其整数指标 r,s 我们在体态和边界版本的问题中均进行了精确求解。特别地，我们发现 FK 簇接触其包围自旋簇壳层的点集具有分形维数 d_{2,1} = 2 - 2 h_{2,1}。如果将该集合限制为相邻自旋簇延伸至无穷远的点，我们证明其维数变为 d_{1,3} = 2 - 2 h_{1,3}。我们的结果得到了广泛的转移矩阵与 Monte Carlo 计算的支持。