Ising 与 Potts 模型的两个上临界维数

我们推导了在任意图上都成立的 $Q$ 态 Potts 模型的精确作用量，首先针对自旋自由度，其次针对 Fortuin-Kasteleyn 团簇。在两种情况下场均为无迹的 $Q$ 分量标量场 $\Phi^\alpha$。对于 Ising 模型（$Q=2$），自旋的场论具有上临界维数 $d_{\rm c}^{\rm spin}=4$，而团簇的场论具有 $d_{\rm c}^{\rm cluster}=6$。因此，对于 $4<d<6$ 内的 $d$，三点处于同一团簇的概率不由平均场论给出。我们估计相关的普适结构常数为 $C=\sqrt{6-d}+ {\cal O}(6-d)^{3/2}$。这表明 Ising 模型中的某些可观测量具有上临界维数 4，而另一些具有上临界维数 $6$。将来自 $\epsilon=6-d$ 展开的微扰结果与靠近维数 $d=4$ 的非微扰处理相结合，使我们能够定位整个 $(Q,d)$ 平面上 Potts 模型的临界域形状。