Saint Venant 问题解的负幂次可积性

我们启动了对有限性条件 $\int_{\Omega}u(x)^{-\beta}\,dx\leq C(\Omega,\beta)<+\infty$ 的研究，其中 $\Omega\subseteq{\mathbb{R}}^n$ 是开集，$u$ 是 Saint Venant 问题 $\Delta u=-1$ (在 $\Omega$ 内) 且 $u=0$ (在 $\partial\Omega$ 上) 的解。我们要解决的核心问题是确定参数 $\beta>0$ 的取值范围，使得在上述关于 $\Omega$ 光滑度的各种假设以及对常数 $C(\Omega,\beta)$ 性质的要求下，前述条件成立。我们的分析适用的区域类别包括：${\mathbb{R}}^n$ ($n\geq 2$) 中具有锥形奇点（特别是平面中的多边形区域）的有界分段 $C^1$ 区域、${\mathbb{R}}^3$ 中的多面体，以及局部为 $C^2$ 类且具有（有限多个）向外尖点的有界区域。例如，我们证明如果 $u_N$ 是平面中单位圆外切正 $N$ 边形 $\Omega_N$ 上 Saint Venant 问题的解，则对于每个 $\beta\in(0,1)$，以下渐近公式成立：% {eqnarray*} \int_{\Omega_N}u_N(x)^{-\beta}\,dx=\frac{4^\beta\pi}{1-\beta} +{\mathcal{O}}(N^{\beta-1})\quad{as}\,\,N\to\infty. {eqnarray*} % 提出上述问题的原始动机之一是对满足 $v(0)=0$、$\nabla v(0)=0$ 且 $\Delta v\geq c>0$ 的函数 $v$ 进行下水平集估计的研究。