高阶 RK 矩阵的无穷范数界与特征多项式

本文证明当 $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times m}$ 为源于高斯求积（该求积精确积分 $2m-2$ 次多项式）的节点所构成的 Runge-Kutta 矩阵时，有 $t_m \leq \|\mathbf{A}\|_\infty \leq \sqrt{t_m}$ 成立。可证对 Gauss-Lobatto 求积此结论同样成立。此外，当矩阵非奇异时，$\mathbf{A}$ 的特征多项式为 $p_A(\lambda) = m!t^m + (m-1)!a_{m-1}t^{m-1} + \dots + a_0$，其中系数 $a_i$ 为节点多项式 $\omega(t) = (t - t_1) \dots (t - t_m) = t^m + a_{m-1}t^{m-1} + \dots + a_0$ 的系数。