从 Maclaurin 到 Landen 的双曲线求直以及椭圆积分的 Lagrange-Legendre 变换

本文描述了 1742 年至 1827 年间在英国和欧洲大陆进行的主要关于双曲线求直的数学研究，并补充了我们的一些贡献。我们从 Maclaurin 在微积分方面的发明及其在 18 世纪中叶的显著作用开始；接着重点讨论他于 1742 年对双曲超量的评估，解释其研究背后的真正动机。对于他的几何 - 分析方法，我们附上了纯粹的解析替代方案。随后我们将双曲线探究转向业余数学家 John Landen，他写作可能更多是为了确立优先权而非解释其非凡发现。我们跟随他探讨其双曲线求直定理中晦涩的证明，解释其与 Maclaurin 等人的联系，并通过一系列几何构造附上我们对 Landen 处理的解读。我们还提供了利用第一类和第二类椭圆积分对其双曲极限超量的现代解析证明，并论证了为何所谓的椭圆积分 Landen 变换不能归功于他。接下来，主题从英国转向欧洲大陆：引入了 Lagrange 的角色，尽管我们的兴趣仅在于他 1785 年关于无理积分的回忆录，其中确立了算术 - 几何平均 (AGM)。然而，我们的目标并非 AGM，而是探测所谓椭圆积分 Landen 变换的真正来源。事实上，Lagrange 的论文包含一个源自 AGM 的微分恒等式：对其积分，我们展示了如何可能得到 Legendre 在其 1827 年出版的《论著》(Trait\'e) 中提出的第一类椭圆积分的著名递归计算，这远晚于 Lagrange 的论文。