具有非双曲轨道曲面的 Thurston 映射的增长率不等式

设 $f: S^2 \to S^2$ 为度 $d$ 的连续映射，$|d|>1$，并令 $N_nf$ 表示 $f^n$ 的不动点个数。我们证明：若 $f$ 是一个具有非双曲轨道曲面的 Thurston 映射，则要么 $f$ 满足增长率不等式 $\limsup \frac{1}{n} \log N_nf\geq \log |d|$，要么 $f$ 恰有两个不动且完全不变的关键点。