$\mathbb{R}^{2n}$ 的辛微分同胚群与欧拉方程

本文考虑 Ebin \cite{ebin} 所研究的欧拉方程的“辛”版本。我们证明这些方程在 Sobolev 空间 $H^s(\mathbb{R}^{2n})$（$n \geq 1$ 且 $s > 2n/2+1$）上整体适定。整体适定性的潜在机制与二维欧拉方程情形有相似之处。此外我们考虑保持辛形式 $\omega=dx_1 \wedge dx_2 + \ldots + dx_{2n-1} \wedge dx_{2n}$ 的 Sobolev 型 $H^s$ 辛微分同胚群 $\mathcal{D}^s_\omega(\mathbb{R}^{2n})$。我们证明 $\mathcal{D}^s_\omega(\mathbb{R}^{2n})$ 是保持定向的 Sobolev 型 $H^s$ 全微分同胚群 $\mathcal{D}^s(\mathbb{R}^{2n})$ 的闭解析子流形。我们证明辛版欧拉方程在 $\mathcal{D}^s_\omega(\mathbb{R}^{2n})$ 上以 Euler-Arnold 形式 \cite{arnold} 具有作为解析二阶常微分方程的拉格朗日表述。与拉格朗日坐标中这一“光滑”行为相反，我们证明其在欧拉坐标中具有非常“粗糙”的行为。确切地说，我们证明时间 $T > 0$ 解映射 $u_0 \mapsto u(T)$（将解的初值映射为其时间 $T$ 值）处处不局部一致连续。特别地，解映射处处不局部 Lipschitz。