小因果钻石的几何

因果钻石或Alexandrov开集的几何，其初始事件p和最终事件q分别具有与曲率尺度相比很小的固有时隔\tau，是普遍的。来自平坦空间的修正以\tau的幂级数给出，其系数涉及钻石中心的曲率。我们给出了钻石的总4体积V、p的未来光锥与q的过去光锥的交点的面积A，以及由该交点界定的最大3体积超曲面的3体积的公式，这些公式有效到{\cal O} (\tau ^4)。4体积的公式与Myrheim先前的结果一致。值得注意的是，等周比${3V_3 \over 4 \pi} / ({A \over 4 \pi}) ^{3 \over 2}$仅取决于中心的能量密度，并且如果能量密度为正，则大于1。这些结果也被证明在所有时空维度中成立。对于二维时空中的因果域，也给出了有效到下一个非平凡阶的公式。我们提出了一些应用，例如，体积的方向依赖性允许将因果钻石的体积视为提供Ricci张量测量的可观测量。