二维凸体的排斥体积：形状重建与非唯一性

在单组分硬粒子系统的 Onsager 模型中，整个相行为由相对取向的一个函数决定，该函数表示一个粒子在给定相对取向下被另一个粒子排斥的空间量。我们称此函数为排斥体积函数。在二维凸体的背景下，我们研究单组分系统的这一排斥体积函数，并解决两个相关问题。首先，给定一凸体，我们能否求出其排斥体积函数？其次，我们能否从其排斥体积函数重建该凸体？前者可通过支持函数的显式傅里叶级数表示轻松回答，然而我们表明后一问题是不适定的，即对一大类凸体解不唯一。不过这种退化可被很好地刻画：两个凸体具有相同的排斥体积函数，当且仅当它们支持函数的傅里叶系数仅相位不同。尽管存在非唯一性问题，我们随后提出并分析了一种给定排斥体积函数重建凸体的方法，通过离散化流程，将凸体用具有固定边数的带状多面体（zonotope）近似。结果表明，该算法总能渐近地产生试验函数在中心对称凸体排斥体积函数空间中的最佳 $L^2$ 近似。特别地，若存在解，则必可被找到。文中给出了数值实现的結果，显示仅用桌面计算能力即可轻松获得解的良好近似。