Einstein-Hilbert 泛函与 Donaldson-Futaki 不变量

给定一个由全纯丰富线丛极化的 Kaehler 流形，我们考虑与该极化相伴的圆丛及其诱导的横全纯结构。与该横结构相容的接触结构空间可自然等同于一个无穷秩丛，其底空间为极化第一 Chern 类中的 Kaehler 度量空间。我们证明，相关 Tanaka-Webster 联络的 Einstein-Hilbert 泛函是该丛上的一个泛函，其临界点恰为常数量曲率 Sasaki 结构。特别地，当自同构群离散时，这些临界点对应于极化第一 Chern 类中的常数量曲率 Kaehler 度量。我们证明了 Einstein-Hilbert 泛函沿某些与测试构型自然相关的一维 CR-接触结构族满足若干单调性，并且其在测试构型中心纤维上的极限通过一个额外实参数的展开与 Donaldson-Futaki 不变量相关联。作为副产品，我们得到了一个原始证明：极化流形上常数量曲率 Kaehler 度量的存在性蕴含 K-半稳定性。我们还证明了中心纤维上 Einstein-Hilbert 泛函的极限与中心纤维的等变指标特征极点系数之比一致。