Einstein-Cartan-Dirac 理论

Einstein 引力理论 (GR) 存在多种推广，其中之一是 Einstein-Cartan (EC) 理论。它修改了流形的几何结构，并放宽了仿射联络为对称的要求。该理论也称为 $U_4$ 引力理论，其底层流形不是 Riemann 流形。时空的非 Riemann 部分由物质的自旋密度作为源。在此，质量与自旋均扮演动力学角色。我们考虑 Dirac 场与 EC 理论的极小耦合，从而将完整的理论称为 Einstein-Cartan-Dirac (ECD) 理论。在 T.P Singh 题为“A new length scale in quantum gravity”的近期工作中，提出了量子引力中新的统一的质量依赖长度尺度 $L_{cs}$ 的设想。我们讨论了这一设想，并在标准长度尺度与这一新长度尺度下分别表述了 ECD 理论。我们利用 ECD 场方程在 $\sqrt{\hbar}/c$ 上的类 WKB 展开，求得了在两种长度尺度下 ECD 理论的非相对论极限。在首阶近似下，具有标准长度尺度的 ECD 方程给出 Schrödinger-Newton 方程。采用 $L_{cs}$ 时，在低质量极限下给出无源 Poisson 方程，而在高质量极限下则退化为具有狄拉克函数源的 Poisson 方程。基于此，提出了针对 $L_{cs}$ 设想的可证伪检验。接着，我们在 Newman-Penrose (NP) 形式体系中表述了包含两种长度尺度（特别是 Dirac 方程 (Hehl-Datta 方程) 与 Contorsion 自旋系数）的 ECD 理论。$L_{cs}$ 的设想暗示了小质量与大质量之间的对称性。在 NP 形式体系中表述采用 $L_{cs}$ 的 ECD 理论是可取的，因为 NP 形式体系恰好是描述低质量 (Dirac 理论) 与高质量 (引力理论) 的通用词汇。此外还讨论了曲率与挠率之间的对偶性。