带配对结构的随机图沙堆群的分布

我们确定了Erdős-Rényi随机图$G(n,q)$的沙堆群（亦称Jacobian）及其标准对偶配对随着$n$趋于无穷时的分布，完全解决了Clancy、Leake和Payne于2015年提出的一个猜想，并推广了Wood关于群的结果。特别地，我们证明一个有限阿贝尔$p$-群$G$配上一个完美对称配对$\delta$作为沙堆群的Sylow $p$-部分及其配对出现，其频率与$|G||\mathrm{Aut}(G,\delta)|$成反比，其中$\mathrm{Aut}(G,\delta)$是保持配对$\delta$的$G$的自同构集合。虽然该分布与Cohen-Lenstra分布相关，但由于配对的额外代数数据，二者并不相同。证明利用了矩方法：我们首先计算随机变量的完整矩集（从我们的随机对象到所关注范畴中固定对象的上同态平均个数），然后证明这些矩决定了分布。为获得矩，我们证明了随机对称整矩阵的余核在其对偶群配备对称配对时矩的一个普适性结果，其强到足以处理对角元素的依赖关系以及配对的额外数据。我们随后应用Sawin和Wood的结果来证明这些矩决定唯一分布。