$\mathbb{F}_2^r$ 的凯莱图的沙堆群

连通图 $G$ 的沙堆群定义为图拉普拉斯矩阵余核的挠部分，是一种具有组合、代数和几何描述的微妙图不变量。在扩展并改进先前关于超立方体沙堆群研究的基础上，我们研究了 $\mathbb{F}_2^r$ 的凯莱图的沙堆群，重点关注其鲜为人知的 Sylow-$2$ 分量。我们找到了“一般”凯莱图的 Sylow-$2$ 循环因子个数，并推导出非一般情形的界。此外，我们给出了其最大 Sylow-$2$ 循环因子的锐上界。对于超立方体情形，我们给出了最大的 $n-1$ 个 Sylow-$2$ 循环因子的精确公式。我们工作的若干关键要素包括：由表示论得到的这些沙堆群上的自然环结构，以及通过进位组合学计算二项式和的 $2$-进赋值。