丢番图方程 $b(b+1)(b+2) = t a(a+1)(a+2)$ 与间隙原理

在本文中，我们关注一个三个连续整数的乘积 $a(a+1)(a+2)$ 是否能整除另一个此类乘积 $b(b+1)(b+2)$。如果发生这种情况，我们证明它们之间存在一些间隙，即 $b \gg \frac{a \log a)^{1/6}}{(\log \log a)^{1/3}}$。我们还考虑了其他多项式序列，例如 $a^2(a^2 + l)$ 整除 $b^2(b^2 + l)$，其中 $l$ 为某个固定整数。我们的方法基于有效的 Liouville-Baker-Feldman 定理。