$\mathcal A_g$上Hecke对应的$\delta$-不变量理论

设$p$为一素数，设$N\geq 3$为与$p$互素的整数，设$R$为系数在$\mathbb F_p$的代数闭包中的$p$-典型Witt向量环，并考虑由Mumford的相对维数为$g$、带有辛相似水平-$N$结构的主极化阿贝尔概形在$R$-概形上的模概形上所有与$p$互素的Hecke对应的并所给出的对应$\mathcal A'_{g,1,N,R}\rightrightarrows \mathcal A_{g,1,N,R}$。众所周知，上述对应的余等化子$\mathcal A_{g,1,N,R}/\mathcal A'_{g,1,N,R}$在概形范畴中存在且平凡，即$\text{Spec}(R)$。我们在一种更精细的几何（范畴）中构造并详细研究此余等化子（范畴商），该几何被称为{\it $\delta$-几何}。此几何本质上是通过给所有$R$-代数装备{\it $p$-导子}而从通常代数几何得到。特别地，我们证明了我们的$\delta$-几何中$\mathcal A_{g,1,N,R}/\mathcal A'_{g,1,N,R}$的替代物具有与$\mathcal A_{g,1,N,R}$相同的“维数”，从而解决了Barcău--Buium工作中的主要公开问题。我们还给出了对$\mathcal A_{g,1,N,R}$中如同源类与复乘点等各种Zariski稠密轨迹研究的应用。为证明我们的结果，我们发展了任意亏格的{\it Siegel $\delta$-模形式}的Serre--Tate展开理论，并将其与来自多重二次型及多重自同态的几何不变量理论的旧有和新结果相结合。