三次Szegő方程与汉克尔算子

本专著是预印本arXiv:1402.1716或hal-00943396v1的扩展版本。它致力于研究圆$\mathbb{S}^1$上三次Szegő方程在索伯列夫空间上的动力学：$i\partial_t u = \Pi(|u|^2 u)$。这里$\Pi$表示从$L^2(\mathbb{S}^1)$到具有非负傅里叶模的函数子空间$L^2_+(\mathbb{S}^1)$上的正交投影。我们在$H^{1/2}(\mathbb{S}^1) \cap L^2_+(\mathbb{S}^1)$上构造了一个非线性傅里叶变换，允许显式描述该方程在$H^{1/2}(\mathbb{S}^1) \cap L^2_+(\mathbb{S}^1)$中初值下的解。这一显式描述意味着$H^{1/2}_+$中每个解的几乎周期性。此外，它还能展示以下湍流现象：对于$C^\infty(\mathbb{S}^1) \cap L^2_+(\mathbb{S}^1)$中的一个稠密$G_\delta$初值子集，解在某个时间序列上以超多项式增长趋于无穷，在$H^s$（对每个$s > 1/2$）中趋于无穷，而在另一个趋于无穷的时间序列上，它们又回到其初始数据。该变换通过求解一个广义逆谱问题来定义，该问题涉及一个希尔伯特-施密特汉克尔算子及其移位汉克尔算子的奇异值。