分裂四元数分析及 SL(2,R) 与 SL(2,C)/SL(2,R) 的级数分离

我们将先前基于表示论的四元数分析研究推广到分裂四元数 H_R 的情况。与 SU(2) 群等同的经典四元数 H 中单位球的特殊角色，现在由 H_R 中单位四元数实现的 SL(2,R) 群扮演。与先前的工作一样，我们利用 Cayley 变换的类比，将 SL(2,R) 上的分析与等同于 Minkowski 空间 M 中单叶双曲面的虚 Lobachevski 空间 SL(2,C)/SL(2,R) 上的分析联系起来。我们研究了 H_R 和 M 上 Cauchy-Fueter 公式与 Poisson 公式的对应形式，并证明了它们解决了离散级数与连续级数的分离问题。H_R 上的连续级数分量产生了共形群 SL(4,R) 的最小表示，而 M 上的离散级数则提供了在自然多项式基中实现的其 K-类型。我们还得到了一个关于 SL(2,R) 上 Plancherel 测度的令人惊讶的公式，该公式用分裂四元数 H_R 上的 Poisson 积分表示。最后，我们证明了四维量子场论中的无质量奇异函数不过是虚 Lobachevski 空间 SL(2,C)/SL(2,R) 上离散级数与连续级数投影核。我们的结果再次揭示了 Minkowski 空间在四元数与分裂四元数分析中的核心作用，以及分裂四元数分析与四维量子场论之间的深刻联系。