立方薛定谔方程的对数 Sobolev 不等式与谱集中
摘要
非线性薛定谔方程 NLSE(p, \beta), -iu_t=-u_{xx}+\beta | u|^{p-2} u=0，源于无限维相空间 \Lp^2(\mT) 上的哈密顿量。对于 p\leq 6，Bourgain (Comm. Math. Phys. 166 (1994), 1--26) 已证明在相空间中的球 \Omega_N= {\phi \in \Lp^2(\mT) : | \phi |^2_{\Lp^2} \leq N} 上存在 Gibbs 测度 \mu^{\beta}_N，使得 NLSE(p,\beta) 的 Cauchy 问题在 \mu^{\beta}_N 的支撑集上是适定的，且 \mu^{\beta}_N 在该流下是不变的。本文表明，对于聚焦情形 \beta <0 且 2\leq p\leq 4，\mu^{\beta}_N 在所有 N>0 的 \Omega_N 上满足对数 Sobolev 不等式；此外，对于 4\leq p\leq 6，\mu^{\beta} 在由 H\"older 范数确定的 \Omega_N 紧子集上满足受限 LSI。因此，对于 p=4，受 \mu^{\beta}_N 约束的具有随机势 \phi 的 \Lp^2(\mT; \mC^2) 中周期 Dirac 算子的谱数据集中在其均值附近。本文最后给出了当势为随机且受 KdV 的 Gibbs 测度约束时，Hill 方程谱数据的类似结果。
引用
@article{arxiv.1308.3649,
title = {Logarithmic Sobolev inequalities and spectral concentration for the cubic Schr\"odinger equation},
author = {Gordon Blower and Caroline Brett and Ian Doust},
journal= {arXiv preprint arXiv:1308.3649},
year = {2016}
}
备注
This is the authors' manuscript version (11 pages). An improved version appears in Stochastics An International Journal of Probability and Stochastic Processes