关于二次 Szegő 族

本文旨在进一步研究二次 Szegő 方程，其为如下哈密顿偏微分方程：$i \partial_t u = 2J\Pi(|u|^2)+\bar{J}u^2$，$u(0, \cdot)=u_0$，其中 $\Pi$ 为到非负模态的 Szegő 投影，$J = J(u)$ 是由 $J=\int_\mathbb{T}|u|^2u$ 给出的复数。我们给出一组对合的新守恒律 $\{\ell_k \}$。这些定律使我们能更好地理解该方程某些有理解的“湍流”行为：我们证明，若一个有理解在某一 $H^s$（$s > 1/2$）中的轨道无界，则某个 $\ell_k$ 必为零。作为推论，我们刻画了可写为两个孤子之和的增长解。