矩阵 Szegő 方程

本文致力于研究 Gérard--Grellier (2009) arXiv:0906.4540 中引入的三次 Szegő 方程的矩阵解，从而得到环面上的三次矩阵 Szegő 方程，\begin{equation*} i \partial_t U = \Pi_{\geq 0} \left(U U ^* U \right), \quad \Pi_{\geq 0}: \sum_{n\in \mathbb{Z}}\hat{U}(n) e^{inx} \mapsto \sum_{n \geq 0} \hat{U}(n) e^{inx}. \end{equation*}该方程具有双 Lax 对结构，使得每个解均可由初值数据与时刻$t \in \mathbb{R}$显式表达。