实线上Szegő方程解的显式公式及其应用
偏微分方程分析
2011-03-11 v2 动力系统
摘要
我们考虑上半平面Hardy空间中的三次Szegő方程 i u_t=Pi(|u|^2u)，其中Pi是正频率上的Szegő投影算子。该方程是完全非色散演化方程的一个模型，并且由于它允许Lax对，因此是完全可积的。我们找到了Szegő方程解的显式公式。作为一个应用，我们证明了对于一般数据，在H^s (s>0)中孤子分解成立。对于非一般数据，我们构造了一个例子，其中孤子分解仅在H^s (0<s<1/2)中成立，而高Sobolev范数随时间增长到无穷大，即若s>1/2，则\lim_{t\to\pm\infty}|u(t)|_{H^s}=\infty。作为第二个应用，我们通过求解Lax对中出现的Hankel算子H_u的反问题，构造了显式的广义作用-角坐标。特别地，我们证明了具有一般数据的Szegő方程的轨迹是围绕拉格朗日环面柱体T^N \times R^N的螺旋线。
引用
@article{arxiv.1012.2943,
title = {Explicit formula for the solution of the Szeg\"o equation on the real line and applications},
author = {Oana Pocovnicu},
journal= {arXiv preprint arXiv:1012.2943},
year = {2011}
}
备注
Small modifications in the proof of Proposition 1.3, changed the order in the proof of Theorem 1.9, replaced the proof of \chi proper mapping in Theorem 1.9