氢原子Zeeman哈密顿量本征值簇的半经典Szegő极限

我们证明了一个极限本征值分布定理（LEDT），适用于由弱恒定磁场扰动形成的氢原子哈密顿量离散负本征值周围适当缩放的本征值簇。我们研究定义在 $L^2 (R^3)$ 上的氢原子Zeeman哈密顿量 $H_V(h,B) = (1/2)( - i h {\mathbf \nabla} - {\mathbf A}(h))^2 - |x|^{-1}$，在恒定磁场 ${\mathbf B}(h) = {\mathbf \nabla} \times {\mathbf A}(h)=(0,0,\epsilon(h)B)$ 下，弱场极限 $\epsilon(h) \rightarrow 0$ 当 $h\rightarrow{0}$。我们考虑普朗克参数 $h$ 沿序列 $h=1/(N+1)$ 取值，其中 $N=0,1,2,\ldots$，且 $N\rightarrow\infty$。我们证明了缩放本征值移动的Szegő型半经典 $N \rightarrow \infty$ LEDT，并得到（{\bf i}）一个涉及能量 $E=-1/2$ 的正则化经典开普勒轨道的表达式，以及（{\bf ii}）一个涉及角动量矢量在磁场方向的分量 $\ell_3$ 的弱极限测度。该LEDT将氢原子有界扰动本征值簇的Szegő型结果扩展到Zeeman效应。这项工作的新方面在于扰动涉及无界的一阶偏微分算子 $w(h, B) = \frac{(\epsilon(h)B)^2}{8} (x_1^2 + x_2^2) - \frac{ \epsilon(h)B}{2} hL_3 ,$ 其中算子 $hL_3$ 是通常角动量算子的第三分量，并且是 $\ell_3$ 的量子化。无界Zeeman扰动是利用氢原子相干态 $\Psi_{\alpha,N}$ 及其导数 $L_3(h)\Psi_{\alpha,N}$ 在大量子数区域 $N\rightarrow\infty$ 下的局域化性质来控制的。