吸引型库仑算符本征函数的半经典测度

我们刻画了与吸引型库仑算符 $\widehat{H}_{\hbar}:=-\frac{\hbar^2}{2}\Delta_{\mathbb{R}^3}-\frac{1}{|x|}$ 的本征函数序列相对应的半经典测度集合。特别地，经典相空间中开普勒哈密顿量 $H$ 在固定负能量超曲面 $\Sigma_E$ 上任意在正则化开普勒流下不变的Radon概率测度，都是 $\widehat{H}_{\hbar}$ 在 $\hbar \to 0$ 时本征值为 $E$ 的本征函数序列的半经典测度。我们使用的主要工具是著名的Fock酉共轭映射，它联系 $\widehat{H}_{\hbar}$ 与 $-\Delta_{\mathbb{S}^3}$ 的特征子空间。我们首先证明，对于 $\Sigma_E$ 上任意开普勒轨道 $\gamma$，存在一串本征函数在 $\hbar \to 0$ 时以半经典测度意义收敛到支撑于 $\gamma$ 上的delta测度，最后利用弱-*拓扑中的稠密性论证完成证明。