广义 Lanczos 信赖域方法求解信赖域子问题的收敛性

求解信赖域子问题（TRS）在数值优化及许多其他应用中起关键作用。广义 Lanczos 信赖域（GLTR）方法是求解大规模 TRS 的著名 Lanczos 型方法。该方法将原始大规模 TRS 投影到由对称 Lanczos 过程生成的 $k$ 维 Krylov 子空间上，并从中计算近似解。文献中已有一些关于最优解和最优目标值的先验误差界，但关于投影 TRS 中涉及的拉格朗日乘子及近似解残差范数的收敛性尚无先验结果。本文建立了 GLTR 方法的一般收敛理论，并推导了最优拉格朗日乘子、最优解、最优目标值及近似解残差范数误差的先验界。数值实验表明，我们的界是现实的，并准确预测了三种误差和残差范数的收敛速率。