广义信赖域子问题：求解复杂度与凸包结果
数据结构与算法
2020-11-17 v2 最优化与控制
摘要
我们考虑广义信赖域子问题（GTRS），即在一个非凸二次约束下最小化一个非凸二次目标函数。该问题的一个提升形式将 GTRS 重新表述为在两个非凸二次约束下最小化一个线性目标。我们的第一个主要贡献是结构性的：我们基于关联矩阵束的广义特征值，给出了该非凸集合凸包的显式描述。这一结果在构建非凸二次规划的松弛时可能具有参考价值。此外，该结果使我们能够将 GTRS 重新表述为在原空间中最小化两个凸二次函数。我们接下来的一组贡献是算法性的：基于该重新表述，我们提出了一种求解 GTRS 至 epsilon 加性误差的算法。我们仔细处理了由不精确的广义特征值与特征向量计算引起的数值问题，并给出了这些算法的显式运行时间保证。值得注意的是，我们的算法在输入规模上以线性时间运行。此外，我们用于计算 epsilon 最优解的算法在运行时间对 epsilon 的依赖上略优于现有最优算法。我们的分析表明，求解 GTRS 的主要代价在于求解一个广义特征值问题——建立了这些问题之间的自然联系。最后，我们凸包结果的推广使我们能够直接将我们的算法及其理论保证应用于 GTRS 的等式约束、区间约束和空心约束变体。这给出了文献中针对这些 GTRS 变体的首个线性时间算法。
引用
@article{arxiv.1907.08843,
title = {The Generalized Trust Region Subproblem: solution complexity and convex hull results},
author = {Alex L. Wang and Fatma Kilinc-Karzan},
journal= {arXiv preprint arXiv:1907.08843},
year = {2020}
}