关于 $p$-正则化信赖域子问题

$p$-正则化子问题 (p-RS) 是无约束优化中计算类牛顿步的一种正则化技术，它在全局最小化目标函数的局部二次近似的同时，结合了一个加权正则化项 $\frac{\sigma}{p} \|x\|^p$。文献中已刻画了 $p=3$ 时（也称为立方正则化）$p$-正则化子问题的全局解。在本文中，我们通过必要且充分的 optimality 条件，解决了 $p>2$ 时 (p-RS) 的全局极小值点和局部非全局极小值点问题。此外，我们证明了 Mart\'{\i}nez \cite{Mar} 的一个平行结果：类似于信赖域子问题，$p>2$ 时的 (p-RS) 至多存在一个局部非全局极小值点。当 (p-RS) 受到固定数量 $m$ 个额外线性不等式约束时，我们表明 (p-RS) 局部解的唯一性（如果存在的话），特别是对于 $p=4$ 的情况，可用于在多项式时间内求解此类扩展问题。