$\rho$-正则化子问题：强对偶性与基于特征求解器的算法

基于二次模型（如信赖域子问题（TRS）与$p$-正则化子问题（$p$RS））的信赖域（TR）类方法可以说是最成功的无约束最小化方法之一。本文研究一类一般正则化子问题（命名为$\rho$RS），它将TRS与$p$RS作为特例涵盖。我们导出了$\rho$RS的强对偶定理，以及在正则化项一般假设下的必要充分最优性条件。随后我们定义$\rho$RS的Rendl-Wolkowicz（RW）对偶问题，这是一个最大化问题，其目标函数凹且除可能在两点外可微。值得指出，我们的定义基于对TRS的RW对偶问题的另一种推导。接着我们提出一种基于特征求解器的算法来求解$\rho$RS的RW对偶问题。该算法在每次迭代中通过求某矩阵的最小特征值及其单位特征向量来执行。最后，我们给出在随机生成的$p$RS及一类结合TRS与$p$RS的新正则化问题上的数值结果，以说明我们的算法。