具有线性不等式约束的信任域问题：精确 SDP 松弛、全局最优性与鲁棒优化
最优化与控制
2013-09-13 v1
摘要
信任域问题旨在最小化球域上的非凸二次函数，是求解非线性优化问题的信任域方法中的关键子问题。它具有许多吸引人的性质，例如精确的半定规划松弛（SDP 松弛）和强对偶性。不幸的是，对于具有额外线性约束的扩展信任域问题，这些性质通常不再成立。本文表明，在新的维度条件下，经典信任域问题的两个有用且强大的特征对于具有线性不等式约束的扩展信任域问题依然成立。首先，我们确立了该类扩展信任域问题具有精确的 SDP 松弛，且该结论无需 Slater 约束规范条件即可成立。这是通过证明当满足维度条件时，模型中涉及的二次函数和仿射函数系统满足范围凸性来实现的。其次，我们证明了维度条件与 Slater 条件共同确保了一组结合的一阶和二阶 Lagrange 乘子条件是扩展信任域问题全局最优性的充要条件，从而也是强对偶性的充要条件。最后，我们表明，对于由鲁棒最小二乘问题（LSP）以及鲁棒二阶锥规划模型问题（SOCP）重构为等价半定线性规划问题而产生的扩展信任域模型，维度条件很容易满足。这使我们得出结论：在温和假设下，在矩阵范数不确定性或多面体不确定性下求解鲁棒 LSP 或 SOCP 等价于求解一个 SDP，因此其解可以在多项式时间内验证。
引用
@article{arxiv.1309.3000,
title = {Trust--Region Problems with Linear Inequality Constraints: Exact SDP Relaxation, Global Optimality and Robust Optimization},
author = {V. Jeyakumar and G. Li},
journal= {arXiv preprint arXiv:1309.3000},
year = {2013}
}
备注
Applied mathematics report UNSW, to appear in Mathematical Programming