QCQP 的 SDP 松弛精确性：理论与应用
最优化与控制
2021-07-15 v1
摘要
二次约束二次规划（QCQPs）是一类基础的优化问题。在 QCQP 中，我们被要求最小化一个（可能非凸的）二次函数，其受制于若干（可能非凸的）二次约束。此类问题自然出现在运筹学、计算机科学和工程的许多领域中。尽管 QCQPs 一般在计算上是 NP 难的，但它们通过标准（Shor）半定规划（SDP）松弛承认一种自然凸松弛。在本教程中，我们将研究一般 QCQPs 的 SDP 松弛，给出与该松弛相关的各种精确性概念，并讨论保证此类 SDP 精确性的条件。特别地，我们将定义并考察三种 SDP 精确性概念：(i) 目标值精确性——QCQP 的最优值与其 SDP 松弛的最优值相等的条件；(ii) 凸包精确性——QCQP 上图（epigraph）的凸包与（投影后的）SDP 上图重合的条件；(iii) 秩一生成（ROG）性质——与给定 QCQP 相关的正半定矩阵的一个特定锥子集由其秩一矩阵生成的条件。我们关于目标值精确性和凸包精确性的分析源于对投影 SDP 松弛的几何处理，并关键性地考虑了目标函数如何与约束相互作用。ROG 性质通过提供一个对目标函数不敏感的、同时为目标值精确性和凸包精确性提供充分条件的性质，对这些结果形成补充。我们将给出这些精确性条件的多种充分条件，并讨论这些充分条件同时必要的情形。通篇中，我们将强调我们的结果对若干示例应用的含义。
引用
@article{arxiv.2107.06885,
title = {Exactness in SDP relaxations of QCQPs: Theory and applications},
author = {Fatma Kılınç-Karzan and Alex L. Wang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2107.06885},
year = {2021}
}