QCQP 中 SDP 精确性的几何视角及其应用

二次约束二次规划（QCQPs）是一类极具表达力的非凸优化问题。尽管 QCQP 一般在 NP 难意义下困难，它们通过标准（Shor）半定规划（SDP）松弛具有自然的凸松弛。为理解该松弛何时精确，我们研究一般 QCQP 及其（投影）SDP 松弛。我们给出目标值精确性（QCQP 与其 SDP 松弛目标值相等的条件）与凸包精确性（QCQP 上图凸包与其 SDP 松弛上图重合的条件）的充分（某些情况下亦必要）条件。我们的精确性条件基于 $\Gamma$（凸拉格朗日乘子锥）及其相关 $\Gamma_P$ 与 $\Gamma^\circ$ 的几何性质。这些工具构成我们主要信息的基石：只要 $\Gamma$、$\Gamma_P$ 或 $\Gamma^\circ$ 被充分理解，精确性问题便可被系统处理。作为该信息的进一步证据，我们应用工具处理涉及二值开关约束的原型 QCQP、二次矩阵规划、划分问题的 QCQP 表述以及随机与半随机 QCQP 的精确性问题。