Laughlin 矢量束的 Chern 字符

我们首先解释了研究闭合曲面 $C$ 上量子霍尔效应的物理问题如何通过 Laughlin 的方法导向描述该向量束在 Picard 群 ${\rm Pic}^g(C)$ 上的秩数和第一 Chern 类的数学问题。随后我们对该问题进行数学化建模并求解，证明了若干物理学家提出的重要猜想，特别是 Wen-Niu 的拓扑退 degeneracy 猜想和 Wen-Zee 位移公式。设 $C$ 为 genus 为 $g$ 的闭黎曼曲面，记其第 $N$ 阶对称幂为 $S^NC$。产品 $C \times {\rm Pic}^d(C)$ 承载着普适线束。在乘积 $C^N \times {\rm Pic}^d(C)$ 上，我们考虑该普适线束 $N$ 次拉回的乘积，并以 $C^N$ 的对角线的幂进行扭转。得到的线束可诱导到 $S^NC \times {\rm Pic}^d(C)$。将其作为束的推送（即作为层）到 ${\rm Pic}^d(C)$，得到我们称之为 Laughlin 矢量束的向量束。我们通过 Grothendieck-Riemann-Roch 计算确定了 Laughlin 矢量束的所有 Chern 字符。