强渐近对数del Pezzo曲面的Cheltsov--Rubinstein问题

（强）渐近对数Fano簇的概念由Cheltsov--Rubinstein于2013年引入，他们提出了分类所有具有光滑边界且容许K\"ahler--Einstein边度量的强渐近对数del Pezzo曲面的问题。得益于Cheltsov--Rubinstein分类，这相当于考虑10个族。在8个族中，该问题已由Cheltsov--Rubinstein、Fujita以及Mazzeo--Rubinstein的工作解决。剩余2个族是由0截面的自交数$n$和爆破次数$m$参数化的有理曲面。由Cheltsov--Rubinstein、Cheltsov--Rubinstein--Zhang和Fujita可知，对于第一个族，当$m=0$或$m\geq3$时存在K\"ahler--Einstein边度量，而$m=1,2$的情形已由Fujita--Liu--S\"uss--Zhang--Zhuang和Fujita研究。最后一个剩余族在Cheltsov--Rubinstein分类中记为$\mathrm{(II.6A.n.m)}$，更为困难，因为其边界由两个分支组成，不同于其他9个族中的任何一个。它是足球形到复曲面的推广，其中对$\mathrm{(II.6A.0.0)}$恰好是足球形乘以$\mathbb{P}^1$。对$\mathrm{(II.6A.n.0)}$已通过Rubinstein--Zhang利用Hirzebruch曲面的$\mathbb{P}^1$-丛结构完全理解。本文研究族$\mathrm{(II.6A.n.m)}$在$m\geq1$的情形。这些对不再具有$\mathbb{P}^1$-丛结构，因此更难以处理。主要结果是关于K\"ahler--Einstein边度量存在的角度的必要充分条件，推广了Rubinstein--Zhang条件。因此，我们解决了强渐近对数del Pezzo曲面的Cheltsov--Rubinstein问题。