具有到三维簇有理纤维化的 Fano 4-流形的分类
代数几何
2024-10-30 v2
摘要
我们研究光滑复 Fano 4-流形 X，其具有到三维簇的有理收缩，即一个有理映射 X→Y，该映射可分解为一系列翻转 X→X' 以及一个具有连通纤维的满射态射 X'→Y，其中 Y 是射影正规簇，且 dim Y=3。我们证明，如果 X 具有到三维簇的有理收缩且 X 不是 del Pezzo 曲面的乘积，则 X 的 Picard 数 ρ(X) 至多为 9；该界是紧的。作为应用，我们证明任何满足 ρ(X)=12 的 Fano 4-流形 X 都同构于曲面的乘积，从而改进了第一作者之前关于 ρ(X)>12 的结果。我们还对不是曲面乘积、且具有“特殊”有理收缩 X→Y（其中 dim Y=3，ρ(X)-ρ(Y)=2，且 ρ(X)>6）的 Fano 4-流形 X 进行了分类：我们证明只存在三个可能的族。然后我们证明，当 ρ(X)=7 时第一族存在，而第二族存在当且仅当 ρ(X)=7。这提供了 ρ(X)>6 且不是 del Pezzo 曲面乘积或 P^4 中若干点爆破的 Fano 模型的 Fano 4-流形的首批例子。我们还构造了三个新的 ρ(X)=6 的族。最后，我们证明如果 Fano 4-流形 X 的 Lefschetz 缺陷 δ(X)=2，则 ρ(X) 至多为 6；该界同样是紧的。
引用
@article{arxiv.2408.10337,
title = {Classifying Fano 4-folds with a rational fibration onto a 3-fold},
author = {Cinzia Casagrande and Saverio Andrea Secci},
journal= {arXiv preprint arXiv:2408.10337},
year = {2024}
}
备注
66 pages. Revision of Section 4 on weak Fano threefolds, results unchanged